jueves, 3 de abril de 2014

Ley de la gravitacion universal

Ley de gravitación universal

Fuerzas mutua de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posición del centro de gravedad conjunto de ambas esferas.

La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interaccion gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiare naturalis principia mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.
Así, con todo esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas $m_{1}$ y $m_{2}$ separados una distancia $r$ es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

(1) $F = G \frac {m_{1}m_{2}} {r^2}$

donde

$F\,$ es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

$G\,$ es la constante de la gravitacion universal

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán.
El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1978 se hizo el primer intento de medición(véase el experimento de cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:

(2) $G = \left(6.67428 \plusmn 0.00067 \right) \times 10^{-11} \ \mbox{N} \ \mbox{m}^2 \ \mbox{kg}^{-2}$

en unidades del sistema internacional

Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de coulom para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa al cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga eléctrica).
Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la relatividad general enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc.) del sistema solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Fundamentos teoricos de las leyes de Newton

Leyes de Newton

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton

son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas

planteados por la mecánica, en particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron

los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo.

constituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino también de la física

clásica en general. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse

como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y experimentos

cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La

demostración de su validez radica en sus predicciones... La validez de esas predicciones

fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos.

En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos

aspectos:

•Por un lado, constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica clásica;

•Por otro, al combinar estas leyes con la Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las

Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Así, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el

movimiento de los astros, como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano,

así como toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas.

Su formulación matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia

Mathematica.

La dinámica de Newton, también llamada dinámica clásica, sólo se cumple en los sistemas de referencia inerciales

(que se mueven a velocidad constante; la Tierra, aunque gire y rote, se trata como tal a efectos de muchos

experimentos prácticos). Solo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de la velocidad de la luz

(que no se acerquen a los 300.000 km/s); la razón estriba en que cuanto más cerca esté un cuerpo de alcanzar esa

velocidad (lo que ocurriría en los sistemas de referencia no-inerciales), más posibilidades hay de que incidan sobre el

mismo una serie de fenómenos denominados efectos relativistas o fuerzas ficticias, que añaden términos

suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre

sí. El estudio de estos efectos (aumento de la masa y contracción de la longitud, fundamentalmente) corresponde a la

teoría de la relatividad especial, enunciada por Albert Einstein en 1905.

Fundamentos teóricos de las leyes

La base teórica que permitió a Newton establecer sus leyes está también precisada en sus Philosophiae naturalis principia mathematica

El primer concepto que maneja es el de masa, que identifica con «cantidad de materia». La importancia de esta

precisión está en que permite prescindir de toda cualidad que no sea física-matemática a la hora de tratar la dinámica

de los cuerpos. Con todo, utiliza la idea de éter para poder mecanizar todo aquello no reducible a su concepto de masa.

Newton no asume a continuación que la cantidad de movimiento es el resultado del producto de la masa por la

velocidad, y define dos tipos de fuerzas: la vis insita, que es proporcional a la masa y que refleja la inercia de la materia, y la

vis impressa (momento de fuerza), que es la acción que cambia el estado de un cuerpo, sea cual sea ese estado; la vis impressa,

además de producirse por choque o presión, puede deberse a la vis centrípeta (fuerza centrípeta), una fuerza que lleva al cuerpo hacia algún punto determinado. A diferencia de las otras causas, que son acciones de contacto, la vis centrípetaes una

acción a distancia.

En esta distingue Newton tres tipos de cantidades de fuerza: una absoluta, otra aceleradora y, finalmente, la motora, que es la que interviene en la ley fundamental del movimiento.

En tercer lugar, precisa la importancia de distinguir entre lo absoluto y relativo siempre que se hable de tiempo,

espacio, lugar o movimiento.

En este sentido, Newton, que entiende el movimiento como una traslación de un cuerpo de un lugar a otro, para

llegar al movimiento absoluto y verdadero de un cuerpo compone el movimiento (relativo) de ese cuerpo en el lugar (relativo) en que se lo considera, con el movimiento (relativo) del lugar mismo en otro lugar en el que esté situado, y así sucesivamente, paso a

paso, hasta llegar a un lugar inmóvil, es decir, al sistema de referencias de los movimientos absolutos.

De acuerdo con esto, Newton establece que los movimientos aparentes son las diferencias de los movimientos

verdaderos y que las fuerzas son causas y efectos de estos. Consecuentemente, la fuerza en Newton tiene un carácter absoluto, no relativo.

martes, 1 de abril de 2014

leyes de newton

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Newtons_laws_in_latin.jpg

Primera ley de Newton o ley de la inercia

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la mecanica, en particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo.

La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

La formulación original en latín de Newton de esta ley fue:
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare

Segunda ley de Newton o ley de fuerza

La segunda ley del movimiento de Newton dice que:

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

En las palabras originales de Newton:
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Tercera ley de Newton o ley de acción y reacción

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

La formulación original de Newton es:
Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.

La aplicación más importante de la primera ley de Newton es encontrar el valor de fuerzas que actúan sobre una partícula, a partir de la condición de equilibrio.
En la primera ley, se plantea que si una partícula está en equilibrio, se cumple que: ∑F = 0. Como la fuerza es una cantidad vectorial, podemos plantear que:

∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 (Componentes rectangulares de las fuerzas).

Ejemplo. Un cuadro de 2 Kg se cuelga de un clavo como se muestra en la figura, de manera que las cuerdas que lo sostienen forman un ángulo de 60º. ¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda?

Se debe determinar la situación del problema. Una cuerda sostiene un cuadro de 2 Kg, en dos segmentos, cada segmento tiene una tensión Ta y Tb respectivamente, como se ilustra en el DCL.

De las tres fuerzas planteadas, solamente se puede determinar el valor de su peso w.

∑Fy = 0 = Ta sen 60º + Tb sen 60º - w;

Ta sen 60º + Tb sen 60º = w = mg (1)

Luego, ∑Fx = 0 = - Ta cos 60º + Tb cos 60º

Ta cos 60º = Tb cos 60º, entonces Ta = Tb (2)

Sustituyendo (2) en (1):

2 Tb sen 60º = mg
Despejando Tb:

Como se demuestra en la ecuación (2), las tensiones en los segmentos de cuerda son iguales.

Ejemplo de problemas relacionados con la Segunda Ley de Newton.

1. Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una aceleración de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud de dicha fuerza en Newton y dinas.

Datos
m = 2,5 Kg.
a =1,2 m/s2.
F =? (N y dyn)
Solución
Nótese que los datos aparecen en un mismo sistema de unidades (M.K.S.)
Para calcular la fuerza usamos la ecuación de la segunda ley de Newton:

Sustituyendo valores tenemos:

Como nos piden que lo expresemos en dinas, bastará con multiplicar por 105, luego:

2. ¿Qué aceleración adquirirá un cuerpo de 0,5 Kg. cuando sobre él actúa una fuerza de 200000 dinas?

Datos
a =?
m = 2,5 Kg.
F = 200000 dyn
Solución
La masa está dada en M.K.S., en cambio la fuerza está dada en c.g.s.
Para trabajar con M.K.S. debemos transformar la fuerza a la unida M.K.S. de esa magnitud (N)

La ecuación de la segunda ley de Newton viene dada por:

Despejando a tenemos:

Sustituyendo sus valores se tiene:

3. Un cuerpo pesa en la tierra 60 Kp. ¿Cuál será a su peso en la luna, donde la gravedad es 1,6 m/s2?

Datos
PT= 60 Kp = 588 N
PL =?
gL = 1,6 m/s2
Solución
Para calcular el peso en la luna usamos la ecuación

Como no conocemos la masa, la calculamos por la ecuación:

que al despejar m tenemos:

Esta masa es constante en cualquier parte, por lo que podemos usarla en la ecuación (I):

Tercera ley de newton.

1. Consideramos un cuerpo con un masa m = 2 Kg. que está en reposo sobre un plano horizontal, como el indicado en la figura 17. a) Haz un diagrama de cuerpo libre. b) Calcular la fuerza con que el plano reacciona contra el bloque.

Solución
a) Las fuerzas que actúan sobre el bloque están representadas en la figura 18, donde se elije un eje de coordenadas cuyo origen es el centro del cuerpo, mostrándose las fuerzas verticales: el peso

y la normal

El peso del cuerpo, dirección vertical y sentido hacia abajo.

Normal, fuerza que el plano ejerce sobre el bloque.
Al diagrama así mostrado se le llama diagrama de cuerpo libre.
b) Para calcular la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque aplicamos la segunda ley de Newton:
Como

actúa hacia arriba y

actúa hacia abajo, la resultante viene dada en módulo por N – P, que al aplicar la segunda ley de Newton escribimos:
N – P = m . a
Como en la dirección vertical no hay movimiento entonces la aceleración es cero (a = 0), luego
N – P = 0
N = P
N = m . g (porque P = m ( g)
Sustituyendo los valores de m y g se tiene:
N = 2 Kg . 9,8 m/s2
N = 19,6 N
Esta es la fuerza con que el plano reacciona sobre el bloque.

2. En la figura 19 se muestran dos masas M1 = 3 Kg. y M2 = 5 Kg. colgando de los extremos de un hilo que pasa por la garganta de una polea a) Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan b) Calcular la tensión del hilo y la aceleración con que se mueve el sistema.

Solución
a) Obsérvese la figura 20(a), la cual representa el diagrama del cuerpo libre para el cuerpo de masa M1.

Es la tensión del hilo, actuando hacia arriba.

El peso del cuerpo de masa M1.
En la figura 20(b) se muestra el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo de masa M2.

Es la tensión del hilo, actuando hacia arriba.

El peso del cuerpo de masa M2.
b) Como el cuerpo de masa M1 sube, la tensión T es mayor que P, por lo que podemos escribir en módulo la segunda ley de Newton así:
T – P1 = M1 . a.………………………………………… (A)
Como el cuerpo de masa M2 baja, el peso P2 es mayor que T, pudiéndose escribir en módulo la segunda ley de Newton así:
P2 – T = M2 . a.………………………………………… (B)
Despajando T de la ecuación (A) nos queda que:
T = M1 . a + P1
Sustituyendo ésta expresión en (B) tenemos:
P2 – (M1 . a + P1) = M2 . a
P2 – P1 = M2 . a + M1 . a
Sacando a como factor común:
P2 – P1 = a . (M2 + M1)
Despejando nos queda:

(C)
Calculemos por separado P1 y P2
P1 = M1 . g = 3 Kg . 9,8 m/s2
P1 = 29,4 N
P2 = M2 . g = 5 Kg. . 9,8 m/s2
P2 = 49 N
Sustituyendo todos los valores conocidos en la expresión (C) nos queda que:
La tensión la obtenemos sustituyendo en la expresión:
T = M1 . a + P1
T = 3 Kg . 2,45 m/s2 + 29,4 N
T = 7,35 N + 29,4 N
T = 36,4 N
Luego

y T = 36,4 N

3. En la figura 21 se muestran dos bloques de masa M2 = 2 Kg. que arrastra sobre el plano horizontal al cuerpo de masa M1 = 7 Kg. Calcular la aceleración del sistema y tensión de la cuerda.

Solución
Antes debemos hacer un diagrama del cuerpo libre.
Para el bloque horizontal se muestra la figura 21(a) y para el bloque vertical el diagrama de la figura 21(b).

Horizontalmente se desplaza hacia la derecha y la única fuerza que actúa es la tensión, por lo que puede escribirse de acuerdo con la segunda ley de Newton que:
T = M1 . a.………………………….…………….….… (I)
En el bloque de masa M2, se lleva a cabo un movimiento vertical hacia abajo, pudiéndose escribir que:
P2 – T = M2 . a.………………………………………… (II)
Sustituyendo T de la ecuación (I) en (II) se tiene:
P2 – M1 . a = M2 ( a
Transponiendo términos se tiene que:
P2 = M2 . a + M1 ( a
Sacando a como factor común:
P2 = a . (M2 + M1)
Despejando nos queda:

Sustituyendo todos los valores conocidos en la expresión (C) nos queda que:

La tensión de la cuerda la obtenemos sustituyendo en la expresión:
T = M1 . a = 2Kg. ( 2,17 m/s2
T = 4,34 N